Аппроксимация степенным полиномом

Этот способ аппроксимации основан на разложении нелинейной ВАХ в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки „u0”

Если под нелинейным элементом подразумевается транзистор, то i - ток коллектора, а u - напряжение, например, между базой и эмиттером.

В зависимости от амплитуды входного воздействия, формы ВАХ, положения рабочей точки „u0” на ВАХ степенной полином часто удаётся упростить, используя для описания несколько членов ряда.

ВАХ нелинейного элемента задана в табличной форме:

Таблица 6

Координаты ВАХ нелинейного элемента

Рисунок 60 - ВАХ нелинейного элемента

Аппроксимируем заданнаю ВАХ полиномом второй степени. Найдем уравнение аппроксимирующей функции по 3-м точкам с координатами (1; 1.0), (1.5; 1.9), (2; 2.95). Рабочая точка нашего сигнала Е0=1,4 В и отклонение в 0.13В мало и диапазон изменения значений напряжения сигнала полностью входит в выбранный для аппроксимации участок ВАХ, следовательно такая аппроксимация для данного вида сигнала будет наиболее точной. Выбор степенной аппроксимации обусловлен малыми значениями сигнала.

Аппроксимируем ВАХ НЭ с помощью полинома второй степени в окрестностях рабочей точки Е0=1,4 В.

Аппроксимацию проведём в пакете Маткад.

Для нахождения коэффициентов а0,а1,а2 нужно решить систему уравнений:

Решим систему уравнений методом Крамера.

Представим систему уравнений в матричном виде

(A)*(B)=(D),

Где матрица А:

матрица В:

,

Матрица D:

Тогда коэффициенты:

Где а0=x, a1=y, a2=z.0=1.708, a1=1.89, a2=0.3

Получим:

Рисунок 54 -ВАХ, аппроксимированная полиномом второй степени (I(U))

Пусть на вход нелинейного элемента поступает гармоническое колебание с параметрами: A=0.13В, U0=1.4B, f=18кГц, w=2∙π∙f.

Построим его график:

Рисунок 63 - Сигнал на входе НЭ

Применив тригонометрические преобразования, сигнал на выходе НЭ запишем в следующей форме:

U(t) = U0 + A·cos(wt)(t) - U0 = A·cos(wt)= 1.708 a1 = 1.89 a2=0.3= 0,13 B f=18000 Гц w=2π·18000

I(t)=a2·(U(t) - U0)² + a1·(U(t) - U0) + a0 =a2·(A·cos(wt))² + a1·A·cos(wt)

+ a0 = [cos²(wt)=½ + ½·cos(2wt) ] = a2·½·A² + a2·½·A²·cos(2wt) + ·A·cos(wt) +a0 = (a2·½·A² +a0) + a1·A·cos(wt) + a2·½·A²·cos(2wt)

I0 = a2·½·A² +a0 I0 = 1,710535 B= a1·A I1 = 0,2457 B

I2 = a2·½·A² I2 = 0,002535 B

Рисунок 64 - Сигнал на выходе НЭ

Рисунок 65 - Спектр выходного сигнала

Из рисунка и приведенного выше выражения видны следующие нелинейности ВАХ при гармоническом воздействии:

Статья в тему

Основные характеристики датчиков движения
Датчик движения - это пироэлектрический детектор, служащий приемником волн инфракрасного диапазона. Из курса физики мы знаем, что любое тело, нагретое до определенной температуры, начинает излучать ИК волны. То есть, принцип работы датчика движения основан на регистрации инфракрасных ...