Построение сплайнов через узловые точки траектории

Для нахождения координат точек траектории, в которых РО позиционируется в моменты дискретизации необходимо решить задачу интерполяции траектории по заданным узловым точкам, лежащих на траектории.

На практике аппроксимация осуществляется кубическими сплайнами.

При аппроксимации кубическими сплайнами ускорение меняется по линейному закону:

Рисунок 6.1 График ускорения

.

На основании теоремы подобия:

(6.1)

Интегрируя дважды полученное выражение (6.1), получаем формулу для описания сплайнов:

.(6.2)

Для нахождения постоянных коэффициентов используем условия непрерывности сплайнов и их прохождения через узловые точки

Решая полученную систему уравнений определим постоянные интегрирования. Подставляя их в выражение (6.2), получим уравнения для сплайнов в окончательном виде:

промышленный робот лазерный резка

(6.3)

где - tj - момент прохождения узловой точки;j - шаг разбиения временного интервала движения, ;j - значение обобщенной координаты во время tj;j - значения ускорения в опорных точках;

Для определения ускорений в опорных точках продифференцируем выражение (6.3)

Приравнивая значения скоростей слева и справа в узловых точках, получаем систему уравнений для определения ускорений Mj:

Приравнивая полученные выражения, получим

,(6.4)

где ;

;

.

Недостающие два уравнения для первой и последней точек траектории найдем исходя из начальных условий.

Принимаем нулевые значения скоростей в первой и последней точках.

Из уравнения (6.4) следует:

, .

Используя матричную форму записи полученных m+1 уравнений, получаем выражения для вычисления Mj:

где n - число интервалов разбиения;

λ0=μn=1

j = 1 n-1

,

,

,

где j = 1 n-1.

Решив это матричное уравнение, и подставив полученные значения ускорений в выражение (6.3), получим уравнение для вычисления значений сплайнов на каждом участке траектории.

Статья в тему

Технология изготовления диффузионых резисторов на основе кремния
Одним из основных достижений микроэлектроники является создание на основе фундаментальных и прикладных наук новой элементной базы интегральных микросхем. Развитие вопросов проектирования и совершенствование технологии позволило в короткий срок создать высоко интегрированные функци ...