Аппроксимация сигнала

Для того, чтобы иметь возможность применить к исследованию сигнала математические методы, необходимо аппроксимировать его математической функцией, удобной для дальнейшего анализа и в то же время достаточно точно передающей форму сигнала. Наиболее простым методом преобразования является метод графической аппроксимации. Функция разбивается на несколько участков с различным характером зависимости напряжения от времени. Выбираются участки по описанию близкие к линейным, гармоническим и полиномиальным функциям.

Так как сигнал является периодическим, то его следует рассматривать на временном интервале, равном периоду сигнала. После разбиения интервала, на котором представлен сигнал, на характерные участки, определяем координаты точек соединяющих участки и координаты точек на концах интервала аппроксимации.

Например, аппроксимирующую функцию построим из совокупности степенных функций 1-й и 2-й степени. Графики таких функций являются прямые и параболы соответственно.

Для каждого участка составим уравнения прямой (или параболы), проходящей через точки - границы участка (причем, если линия является параболой, то необходимо задать координаты еще одной какой-либо точки, т.к. уравнение параболы однозначно определяется по трем точкам). Данный метод сразу позволяет получить непрерывную аппроксимирующую функцию.

Уравнение прямой имеет вид y(x)=kx+b. Пусть заданы координаты двух точек (x1,y1) и (x2,у2), через которые проходит данная прямая, тогда коэффициенты k и b определятся по формулам

(1)

(2)

Уравнение параболы имеет вид у(х) = ах2 + bx + с. Пусть заданы координаты трех точек (х1у1,), (x2,у2) и (х3,у3), через которые проходит данная парабола, тогда коэффициенты а, b и с определятся по формулам:

(3)

(4)

(5)

; (6)

; (7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

; (13)

; (14)

(15)

(16)

Более того, в случае сопряжения параболы на какой-либо из границ участка с прямой из соседнего участка, возможно получение уравнения параболы по двум известным точкам на границе интервала и известному угловому коэффициенту прямой, с которой сопрягается парабола. В таком случае аппроксимирующая функция в месте сопряжения двух линий, составляющих ее, является не только непрерывной, но и гладкой (то есть не имеющей изломов, что и наблюдается в природе).

Пусть заданы координаты двух точек (х1,y1) и (х2,у2), через которые проходит данная парабола, и значение производной в какой либо точке (хз,у3), тогда коэффициенты а, b и с определятся по формулам (10)-(16).

Определив точки сопряжения линий и воспользовавшись формулами (1-16), получим выражение для аппроксимирующей функции.

Статья в тему

Анализ электромагнитных реле
электромагнитный реле однофазный питание Основные направления экономического и социального развития предусматривают интенсивное развитие автоматизации и роботизации всего народного хозяйства страны, повышение энерговооруженности труда. Решение этих задач непосредственно связано с с ...